直接观察法
对于一些简单的函数,我们可以通过直接观察函数的表达式来确定其值域。
示例1：求函数 ( f(x) = x^2 ) 的值域。
由于 ( x^2 \geq 0 )，所以该函数的值域为 ([0, +\infty))。
示例2：求函数 ( f(x) = \sin x ) 的值域。
由于正弦函数的取值范围是 ([-1, 1])，因此该函数的值域为 ([-1, 1])。
反函数法
如果函数 ( f(x) ) 存在反函数 ( f^{-1}(x) ),那么可以通过求反函数的定义域来确定原函数的值域。
示例3：求函数 ( f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} ) 的值域。
设 ( y = \frac{2x + 1}{x - 3} )，解出 ( x )：
[
y(x - 3) = 2x + 1 \
yx - 3y = 2x + 1 \
yx - 2x = 3y + 1 \
x(y - 2) = 3y + 1 \
x = \frac{3y + 1}{y - 2}
]
反函数的定义域要求 ( y \neq 2 )，因此原函数的值域为 ( (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) )。
判别式法
对于分式函数或二次函数,可以通过判别式法求值域。
示例4：求函数 ( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} ) 的值域。
设 ( y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} )，整理得：
[
y(x^2 - 1) = x^2 + 1 \
yx^2 - y = x^2 + 1 \
(y - 1)x^2 = y + 1 \
x^2 = \frac{y + 1}{y - 1}
]
由于 ( x^2 \geq 0 )，
[
\frac{y + 1}{y - 1} \geq 0
]
解不等式得：
[
y \leq -1 \quad \text{或} \quad y > 1
]
函数的值域为 ( (-\infty, -1] \cup (1, +\infty) )。
导数法（极值分析）
对于连续函数，可以通过求导分析函数的极值,进而确定值域。
示例5：求函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 2 ) 在区间 ([-2, 2]) 上的值域。
先求导数：
[
f'(x) = 3x^2 - 3
]
令 ( f'(x) = 0 )，解得 ( x = \pm 1 )。
计算关键点的函数值：
[
f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0 \
f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4 \
f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \
f(2) = 8 - 6 + 2 = 4
]
函数在 ([-2, 2]) 上的最小值是 ( 0 )，最大值是 ( 4 )，值域为 ([0, 4])。
图像法
通过绘制函数的图像,可以直观地观察函数的值域。
示例6：求函数 ( f(x) = \sqrt{4 - x^2} ) 的值域。
该函数的图像是上半圆，半径 ( 2 )，因此值域为 ([0, 2])。
求函数值域的方法多种多样，具体选择哪种方法取决于函数的类型和特点,常见的方法包括：
- 直接观察法（适用于简单函数）
- 反函数法（适用于可逆函数）
- 判别式法（适用于分式或二次型函数）
- 导数法（适用于连续可导函数）
- 图像法（适用于直观易绘制的函数）
在实际应用中，可以结合多种方法进行求解,以确保结果的准确性。
